群
定义1. 称代数结构为半群（semigroups），如果 * 运算满足结合律．当半群含有关于 * 运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．
典型的半群：，，< S*，并置>
(资料图片仅供参考)
定义2. 称代数结构为群（groups）,如果 （1）为一半群． （2）中有么元e. （3）中每一元素都有逆元．或者说，群是每个元素都可逆的独异点．群的载体常用字母G表示 ，因而字母G也常用于表示群．
定义3. 设 为一群． （1）若 * 运算满足交换律，则称G为交换群或阿贝尔群（Abel group）．阿贝尔群又称加群，常表示为（这里的 + 不是数加，而泛指可交换二元运算．回忆: *常被称为乘）．加群的么元常用0来表示，常用-x来表示x的逆元. （2） G为有限集时，称G为有限群（finite group）,此时G的元素个数也称G的阶（order）；否则，称G为无限群（infinite group）．
例如：
（1）（整数集与数加运算）为一阿贝尔群（加群）,数0为其么元.< N,+ >不是群．因为所有非零自然数都没有逆元. （2）（正有理数与数乘）为一阿贝尔群，1为其么元. 不是群，因为数0无逆元． （3）为一k阶阿贝尔群, 数0为其么元 . （4）设P为集合A上全体双射函数的集合，○为函数合成运算.那麽 < P, ○ >为一群．A上恒等函数E A为其么元。< P, ○ >一般不是阿贝尔群.
环
定义1. 称代数结构为环（ring），如果 （1）是阿贝尔群（或加群）． （2）是半群． （5）乘运算对加运算可分配，即对任意元素a,b,c ∈R，有a（b＋c）＝ ab+ac , （b＋c）a = ba+ca
例如：
（1）(I为整数集，+,·为数加与数乘运算)为一环． （2）所有整数分量的n ×n方阵集合Mn与矩阵加运算（+）及矩阵乘运算（◦）构成一环，即，< Mn ，+ , ◦ > 为环． （3）所有实系数多项式（以x为变元）的集合R[x]与多项式加，乘运算构成环，即< R[x],+,·>为环． （4）<{0},+，·>(其中0为加法么元、乘法零元)为一环，称为零环。（其它环至少有两个元素．） （5）<{0,e},+，·>(其中0为加法么元、乘法零元，e为乘法么元)为一环．
定义2. 环< R,+,·>中·运算满足交换律时，称 R为交换环（commutative rings），当·运算有么元时，称R为含么环（ring with unity）．
定义3. 设< R,+,·>为环，若有非零元素 a，b满足 ab = 0，则称a,b为R的零因子（divisor of 0），并称R为含零因子环，否则称R为无零因子环．
例如，是零因子环.
定义4. 设< R,+,·>不是零环．称 R为整环（1ntegra1 domain），如果< R,+,·>是含么、交换、无零因子环．
例如：是整环，及< M2 ，+ , ◦ >不是整环．注意<{0}，+，·>也不是整环,它是零环．
定义5. 设< R,+,·>为环，称代数结构< S,+,·>为R的子环（subring），如果 （1） 为的子群（正规子群）． （2） 为的子半群．
显然，当为的子代数系统，并且S对(关于 + 的)求逆运算“－”封闭,那么为的子环.另外,由于乘对加的分配律在中沿袭下来，因此子环必定是环．
定义6. 设为环的子环．称为R的理想子环,简称理想（ideals），如果对任意的r∈R,d∈D,有rd∈D，dr∈D .当D＝R或D＝{0}时，称< D,+,·>为< R,+,·>平凡理想.
定义7. 代数结构< R[x]，+,·>（+,·分别是R-多项式的加、乘运算）称为R-多项式环（ring of polynomial）.其中R[x]表示所有R上的多项式集合，容易证明R-多项式环确为一环，因为加运算满足结合律、交换律，它有么元f（x）＝0（零多项式），每一f(X)ÎR[x]都有加法逆元-f(x)；而乘运算满足结合律、交换律，它有么元f（x= e (零次多项式e)
域
定义1. 称< F,+,·>为域（fields）,如果< F,+,·>为一环,且< F-{0},·>为阿贝尔群．
由于群无零因子，因此域必定是整环．事实上，域也可定义为每个非零元素都有乘法逆元的整环．
例如：为域，但不是域，因为在整数集中整数没有乘法逆元．为域，1和4的逆元是4和1,2和3互为逆元.但不是域，它甚至不是整环，同为它有零因子，例如2，3，它们没有乘法逆元．
参考文献： http://59.67.71.237:8080/discrete/xxwb/jdck/cks/
本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。
关键词：
